你是否想過，錯過公車有可能是好事？為什麼每次趕路時，總是碰到紅燈？才晚5分鐘出門，怎麼就多花了半個小時才到達目的地？每天都像今天一樣無聊的機率是多少？如何遇上百萬分之一的幸運？生活中數學無處不在，萬事萬物可能的面貌遠比眼前所見更多。

蘋果可以讓我們學習黃金比率，花瓣、葉片和松果告訴我們數列的奧祕，森林、海洋和天空展現圓形的極限力量，淋浴水溫揭示一切事物的基本交互作用。機率、正切、圓周率、矩陣、質數……，讓大家傷透腦筋的數學原理和定律，用一點點有趣的觀察角度就能輕鬆理解。

本書揭開數學這個優雅迷人的奇妙宇宙，破解日常生活中各種看似巧合卻其實深富道理的現象，改變我們對周遭世界的看法。

【精彩書摘】

本章談了很多有關於等公車和火車的事情。當然，偶爾大眾運輸系統也會失靈，到最後你根本就必須走路。倘若這時還下起了大雨，而且你的雨傘也不在手邊，那麼問題就更大條了。

這裡有個老問題：「你是應該跑步或走路？」若是你決定開跑，想想原本打不到身上的許多雨點，這下你都要撞上了。那麼就走路吧，這樣你在雨中就會待得更長，肩上也淋個濕透。多年以來都有些人認真構思，從數學角度來鑽研這個問題。結論始終都是，若想儘量保持乾燥，你就應該全力奔跑。或許你根據常識就知道這點。

然而，這道問題還有個意外轉折。標準答案假定雨點是垂直落下。倘若下雨時還刮風，雨點是以某個角度下墜，那時又會如何？

當雨點垂直下墜，而你站立不動，雨點只會打到你的頭頂肩上。然而，倘若有風從你背後吹來，那麼就算你靜靜站著，還是有部分雨點會淋到你的後背。這就猶如雨點除了垂直下墜之外，還會橫向撲來。雨點有水平速率。這個意外轉折就是，當雨點從你後方撲來，有時候最好還是走路，不要奔跑。不過，這只有當你的移動速率，能夠超過雨點的水平速率之時才管用。

◎公平分蛋糕的心理戰術

分蛋糕給小孩時，他們都會斤斤計較是否公平。一旦孩子認為蛋糕不是切得完全公平，他們都會等不及開始抱怨。成人很少大聲抱怨，不過他們私底下也會感到不滿。因此，你要怎樣才能保證蛋糕分得公平？我們就假定那是鮮奶油蛋糕，因此，第一次就絕對要把蛋糕切得圓滿，不會有第二次的機會。

首先提出一個簡單問題。媽媽給湯姆和凱蒂吃鮮奶油蛋糕，想要平均分給他們。兩個孩子都不相信媽媽有辦法完全公平分配，也都自認為會吃虧。媽媽要怎樣做，才能保證讓兩個孩子都覺得完全公平？

答案是把刀子拿給湯姆，要他分糕，接著要凱蒂選擇一塊。湯姆要切糕，因此他會認為那兩半是一模一樣，而凱蒂則會選擇她覺得比較大的那塊。順便一提，這還會產生一種有趣的現象。湯姆會認為留給他的那塊是正好均分，而凱蒂則會覺得，她拿走的那塊比均分還要大一點。湯姆的「均分」加上凱蒂的「比均分大一點」加起來大於1。若依這種數學邏輯推論，結果就是孩子認為，那塊蛋糕到最後還比原來的更大！這對當父母的是個好消息，可以讓孩子心滿意足。

若是有3個孩子，問題就比較複雜了。我們就假定這時艾瑪也來了。最簡單的作法就是要湯姆把蛋糕切成3塊，接著要凱蒂先選，隨後讓艾瑪挑一塊。不幸，儘管凱蒂和艾瑪都會認為，她們選的蛋糕比湯姆的大，艾瑪卻可能覺得，凱蒂拿到的有可能是最大塊的。

這促成了「眼紅數學」（Mathematics of envy）研究。幾位數學家都曾經針對這類問題下過工夫，結果發現幾種作法，可以把蛋糕切成3份，而且分到蛋糕的人，也都會認為自己拿到的最大。梅瑟斯•布拉姆斯（Messrs Brams）和泰勒（Taylor）還鑽研了切糕分給4人的問題。他們訂出嚇人作法，包括20個步驟，保證可以妥善均分蛋糕，還能讓所有人都認為，自己挑中的是最大塊的。這種作法的最大缺點是，過程要從其中一塊切下薄片。很少有人有那種耐心照本宣科，而且切軟蛋糕時還會亂七八糟黏成一團。

不過，布拉姆斯和泰勒發現，他們的程序不只是可以用來切糕，還能用來分其他東西。其中也包括戰後領土畫分、離婚怨偶的財產分配或甚至於分遺產。這一切都可以證明，蛋糕和三明治都是很好的研究起點，能夠由此進入「公平數學」（Mathematics of justice）研究。不過，這兩者也都是研究「內疚數學」（Mathematics of guilt）的優異初階範疇。

◎來自餅乾的內疚數學

假定你和4位鄰居獲邀到住在27號的歐太太家喝茶。在你到達時，歐太太端出一壺茶，還有一碟5片餅乾。4片是巧克力的，另一片是原味的。你猜想那4位鄰居中，多數都愛吃巧克力餅乾。那碟餅乾擺在桌上，大家都在聊天，前3位鄰居動手各拿走1片巧克力餅乾。

你看著碟子，裡面有1片巧克力的和1片原味的，於是你思忖：「倘若我拿那塊原味餅乾，吃起來並不過癮，不過這樣一來，我就不會覺得內疚。另一方面，倘若我拿巧克力餅乾，那會很好吃，不過我會感到內疚……我該怎麼辦呢？」

問題是，你拿走最後那片巧克力餅乾，真的應該感到內疚嗎？畢竟，倘若第1個人拿的是原味的餅乾，那麼往後4人就都只有巧克力餅乾可吃。因此，或許第1個人應該也要感到內疚，因為是她讓你陷入這種困境。第2位和第3位也一樣。

這個問題會牽涉到內疚數學，這個領域和機率有些關連。倘若80%的人比較喜歡吃巧克力餅乾，超過原味的，那麼當第1位鄰居伸手取走1片巧克力餅乾之時，在其他鄰居當中，希望拿巧克力餅乾的比例，各約為40%（算法為0.8×0.8×0.8×0.8）。因此，第1位鄰居不必太感到內疚。不過，等到該你拿餅乾的時候，碟子裡就只剩下1片巧克力的和1片原味餅乾，這時另一位鄰居想要吃巧克力餅乾的機率，已經攀升到80%。難怪你會感到內疚。不過，前面幾位鄰居也都是幫凶，會逐一提高機率。因此，拿巧克力餅乾的人，沒有一個是完全無辜的。

要解決巧克力餅乾內疚問題，有幾種對策可以採用。第一種是，一開始就拿起碟子，詢問是否有人要原味餅乾。倘若有人拿走原味的，那麼你就可以如願拿1塊巧克力餅乾，也完全不用感到內疚。這種作法的缺點是，不管是巧克力或其他任何東西，都沒有人希望最後挑選。突然之間，原味餅乾本身卻變成內疚的來源。

還有另一種作法，你可以宣佈自己不餓，因此其他人就可以自行分享餅乾。有些人會說，這種無私表現能博得屋裡其他人的一致讚揚，還能鼓舞全球民眾的博愛胸懷。另外則有人會認為，這是自甘放棄的懦弱表現。

於是只剩下最後一項對策，那就是把一切罪過都推到歐太太身上，「對不起，不過我們有5個人，卻只有4片巧克力餅乾。」就短期而言，問題很可能解決，同時歐太太也飛奔到街角餅店，不過這或許就是你最後一次獲邀飲茶。

(本文摘自《為什麼公車一次來三班》/臉譜出版)

【作者簡介】

羅勃‧伊斯威Rob Eastaway

目前忙於著書、講學，並從事組織變革諮詢服務和板球運動。他對數學趣味面的嗜好源於猜謎，為《週日泰晤士報》（Sunday Times）和《新科學人》雜誌（New Scientist）設局提供謎題。

傑瑞米‧溫德漢Jeremy Wyndham

獨立企業主管，擁有物理學博士學位，曾是國際橋牌賽青年組選手。至今他仍習慣閱讀《週日泰晤士報》和《新科學人》雜誌刊出的謎題，嘗試破解。

【譯者簡介】

蔡承志

政治大學心理學研究所碩士，國內知名科普書譯者，獲獎無數。譯作有：《地球不見了，月亮會知道？》、《無限大的祕密》、《你要不要被複製？》、《始祖鳥、羽毛與鳥類飛行之謎》、《古文明七十發明》等書。

推薦序 數學知識果然非常有用！

(本文由 中時新聞網 提供)